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万千说法：理性的癌变——悖论
张远山
  

专栏集萃
 
   

　　日本白隐禅师的公案“只手之声”当然是无法证明的,西方形上学家甚至断言，两只手的存在也是无法证明的。

　　英国哲学家摩尔站起来说：“我现在可以证明两只手的存在。怎样证明呢?举起我的两只手，用右手做一个手势说：‘这是一只手!’接着再用左手做一个手势说：‘这是我的另一只手!’这样我就根据事实本身，证明了外间事物的存在。”

　　摩尔赢得的掌声是会令中国人惊奇的，因为在中国人看来，摩尔说的全是废话。但更令我们惊异的是，形上学家认为摩尔的证明无效。因为摩尔的方法与禅宗一样，是“非理性”的，也就是“神秘主义”的。所谓“理性的”，就是“可证明的”。而证明必须是语言的、逻辑的、形式化的，无法证明的即使是事实，也不是真理。

　　1）大约十年前，当我的朋友王先生告诉我“一个纸环只有一条边和一个面”时，我曾试图用摩尔的方法证明他的错误。我从纸上裁下一个矩形纸条，把矩形的两条短边粘上，然后指着纸环说：“这个纸环有内外两个面，而且有两条边——也就是矩形纸条原来的两条长边。”我随手把一只甲虫放入纸环的内面，指出：甲虫如不翻过任何一条边，就不可能爬到纸环朝外的那一面；反之亦然。我又把甲虫放在纸的边脊上，指出：除非甲虫横越纸环的某一面，否则就不可能到达另一条边。——就这样，我就用“事实”证明了：“一个纸环有两条边和两个面。”

　　王先生宽厚地笑笑，伸手扯断纸环，把矩形纸条的一头扭转180°，再与另一头粘上，然后不动声色地也把甲虫放入纸环的内面。我吃惊地发现：甲虫无须翻过纸环的任何一条边，就从内面爬到了外面，又从外面爬到了内面。也就是说：纸环真的只有一个面!王先生又把甲虫放上纸环的边脊，甲虫同样无须越过纸环的任何一个面，就能不间断地爬完整个“两条边”回到出发点。也就是说：纸环真的只有一条边!——就这样，王先生一个字也没说，就轻而易举地摧毁了我的“常识”。我骇然道：“真是一个不可思议的怪圈。”王先生微笑道：“这叫莫比乌斯怪圈。”

　　王先生的微笑似乎是在暗示，他用的方法也是“事实证明法”。看来“事实胜于雄辩”的信条在此就像那头“黔之驴”，对“纸”老虎也无可奈何。用我的“事实”显然难以战胜他的“事实”，而曾几何时，“怪圈”像呼拉圈一样流行起来，淆乱了真理的天空。因此，必须回到语言，诉诸形式，才能重新高扬理性。

　　2）“怪圈”的哲学名称叫做“悖论”。“悖”的意思是违反和错误，在汉语中并不常用，仅在形容老年性糊涂时还用“悖晦”一词。正因其不常用，再加上悖论在形式上的迷惑性，因此许多人不是把“悖论”正确地理解为“错误的、似是而非的假命题”，反而误以为“悖论”是“深刻的、似非而是的真命题”，甚至把悖论与辩证法等同起来，刻意追求和炮制形形色色的悖论，使辩证法走向形而上学化，因此他们不恰当地称悖论为“佯谬”——看上去是“错”的，其实倒是“对”的。

　　反观西方，在哥德尔提出“不完全性定理”以前，哲学家们尚能根据“不矛盾律”(它常被简述为易引人误解的“矛盾律”)和“融贯性原则”本能地抵制悖论。哥德尔定理认为：任何封闭的形式体系至少有一个命题在体系内部不可证明，因此任何封闭的形式体系都是不完全的。”哥德尔使哲学家们认识到，要在体系内部变不完全为完全，使每个命题都得到证明，就必然导致悖论。于是一些神经衰弱患者悲喜交加地认定悖论是真理的极端形式：喜的是悖论似乎意味着某个领域的知识已经达到顶峰，悲的是达到顶峰的知识将不再发展。知识大厦的建筑师们似乎只好另外择地造楼了。

　　但这样就把哥德尔定理的积极意义彻底抹杀了，哥德尔的伟大在于从形式上证明了封闭体系的根本局限，证明了恩格斯关于德国古典哲学终结以后的一切哲学将不应该再走向封闭体系的天才直觉，证明了形式系统之开放的充分必要性。哥德尔实际上揭示了悖论产生的一个源头——有限。不知哥德尔有没有料到，如果把有限封闭体系变成无限开放系统，同样会导致悖论。因为“无限”正是产生悖论的另一个源头；并且，“有限”与“无限”的并存互扭，依然逃不出悖论的魔掌——而上述三个原因，恰好就是所有悖论的三种基本型号。

　　悖论的第一种基本型号是有限封闭型，也是标准型。由于它具有语言形式上的自我满足，基本上与事实无关，因此我援引墨辩传统称之为“悖论”。它的最早形式可能是古希腊的“说谎者悖论”：

　　一个克里特人说：“所有的克里特人都是说谎者。”推论一：如果他的话是真的，那么他也是克里特人，他也在说谎，因此他的话是假的；推论二：既然他的话是假的，那么所有的克里特人都不是说谎者，而他也是克里特人，他也没有说谎，因此他的话是真的——这就回到了开头，而且循环推论永无结果。

　　必须指出，两个推论都不严密。前者把“说谎者”的内涵“经常说假话”偷换成“每句话都假”(这是不可能的)；后者由“克里特人都是说谎者”的假，只能合理地推出“克里特人不都是说谎者”，而不可能推出“克里特人都不是说谎者且每句话都不说谎”。

　　但不要误以为悖论都是玩逻辑把戏造成，请看毫无逻辑破绽的“剃头匠悖论”：

　　一个剃头匠说：“我给不自己剃头的所有人剃头”。

　　推论一：如果他给自己剃头，他就在给为自己剃头的人剃头，因此他不应该给自己剃头；推论二：既然他不给自己剃头，他就没有给不自己剃头的所有人剃头，因此他只能给自己剃头——这样也回到了开头，而且循环推论永无结果。

　　墨辩学派也发现了该型号的悖论，如“以言为尽悖。悖。”(《经下》)“非诽者。悖。”(《经下》)“以学为无益也，教。悖。”(《经说下》)，译成现代话就是：

　　(1)有人说：“所有的语言都是错误的。”

　　(2)有人批评一个喜欢批评别人的人：“批评别人是不应该的。”

　　(3)有个老师要学生记住他的教导：“学习是没有意义的。”不妨称为“言尽悖者悖论”“非诽者悖论”“非学者悖论”，它们同样可以按照上述那种推论方式得出：“如果后件真则因为前件被后件指称而否定，因此后件假；既然后件假，则因为后件被前件指称而肯定，因此后件真。”于是同样进入罗素所说的“恶性循环”。

　　哥德尔定理所说的“体系内部至少有一个命题不可证明”，也是为了避免“恶性循环”，因为每个体系“至少有一个”命题是用来证明体系内其他命题的(即所谓“不证自明”的公理或大前提)母命题，如果这个母命题需要用被它证明的子命题来证明，就是“循环论证”。由此可见这一型号的悖论实际上就是一个微型的封闭体系。在演绎推理中，论证就是蕴涵，蕴涵就是指称。因此封闭有限型悖论的基本特征，就是前后件互相蕴涵、互相指称，也就是双重的对扭性的自我指称，而自指必然导致悖论。

　　从思维学和语言学的角度来看，思维者及思维的语言，必须与思维者思维的对象及语言指称的对象互相分离。分离原则是思维与语言的根本法则。但语言本身也可以成为思维的对象，这正是自指性悖论产生的根源。消除自指性悖论的根本出路在于认识到一旦把语言当成思维对象，思维已经进入了元思维，元思维运用的语言已经是元语言。元思维实际上就是哲学史上神秘兮兮的“反思”。反思之所以神秘，就因为传统哲学并没有分清思维和语言及其对象之间的层次。一旦认识到思维着的语言不能同时成为被思维的对象，那么自指性悖论就会消失。元思维和元语言实际上就是封闭体系走向开放以后的思维和语言，但消解了有限封闭型悖论的形式系统一旦把开放推向无限，那么另一种型号的悖论正等在那里。

　　悖论的第二种型号是无限开放型，由于它在有限范围内相对正确地反映了一部分事实，只是在无限推论中使一个相对有效的命题走向了反面，因此不妨称这种悖论为“反论”。它的最早形式有古希腊的芝诺的四个反论，如“阿喀琉斯追不上乌龟”；在《庄子·天下》记载的辩者二十一事中，也有与芝诺反论非常相似的反论，如“镞矢之疾，而有不行不止之时”、“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等，都是有关数量的无限微分的反论。但无限型反论长期以来没有受到哲学界的足够重视，甚至很少有人意识到反论也是悖论的一种，而且当本世纪集合论悖论批量出现时，人们的注意力也主要集中在其中的标准型号即有限型悖论上面，如著名的罗素悖论，却较少关注其中的无限开放型反论，如“康托尔反论”：

　　“全部偶数的集合与全部自然数的集合相等。”

　　它的错误是如此明显，因为谁都知道，偶数只是自然数的一半。但康托尔用摩尔式的事实证明法列表如下：

　　自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，……

　　偶数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，……

　　自然数每有一项，偶数必然也有相应的一项与之对应：因此两者的总和相等。连罗素也没有注意到这是一个悖论，反而赞扬康托尔“逻辑严密”。

　　我试着用归谬法来证明它的错误：设全部自然数的集合为∞(读做“无穷大”)，则偶数的集合为自然数的一半，即1/2∞，因此康托尔反论断定：1/2∞=∞，这比断言“女人的总数等于人类的总数”还要荒谬，因为毕竟所有的人都是女人生出来的。

　　数学家们或许会不顾常识地争辩说，二分之一的无穷大仍然是无穷大，因此康托尔反论是正确的，你的否证无效。他们不知道，人只能思维有限，而不能思维无限。思维主体与思维对象的分离，已无条件地规定了思维对象只能是有限，人只能从有限来认识无限。当我们偶而有效地思维“无限”时，这个所谓“无限”实际上是“有限的无限”，而不可能是“无限的无限”(恩格斯称之为“恶无限”)。况且“有限的无限”也只是并未实现的可能性，即潜无限；而并非已经全部实现的恶性无限，即实无限。当我们说“人就是无限”时，我们的意思只是表明，人是宇宙中能主动追求无限多样性和无限可能性的最高物质形式，但无限多样性和无限可能性决不可能全部实现，否则就会陷入极端唯心主义，也陷入悖论的陷阱。

　　另外，无限型悖论与所有的悖论一样，也具有自指性，即无限对有限的整体指称和有限对无限的局部指称，因此无限型悖论避免了恶性循环，却陷入了恶性的无限穷举和无限追溯。

　　另一个无限型悖论是本世纪影响最大的天文学理论“宇宙大爆炸反论”——或许该理论是第一次被这么称呼，因为这仅仅是我的观点。我至今不曾听说有人意识到这是一个悖论，这就使它的误导性更大，由它推导出的“宇宙热寂说”拥有更多的狂热信徒。但它的悖谬又是如此一目了然：

　　“整个空间正在向外急剧膨胀。”

　　试问：全部空间向何处膨胀?向“全部空间以外的空间”吗?惠施说过：“至大无外。”很显然，这个理论如果具有真理性，只能表述为“宇宙局部大爆炸”或“局部宇宙小爆炸”。

　　悖论的第三种型号是有限无限混合型，混合产生双重标准，双重标准导致诡辩，因此不妨把这种悖论称为“诡论”(庄子称之为“吊诡”)。它的最早形式是古希腊智者普罗塔戈拉提供的“学费诡论”：

　　普罗塔戈拉收了一个向他学习辩讼的学生尤拉苏斯，事先订下契约：“尤拉苏斯先交一半学费，其余的一半等尤拉苏斯打赢第一场官司以后再付。”但尤拉苏斯满师后迟迟不替人办理讼事，失去耐心的普罗塔戈拉终于向法庭起诉，并且得意地对尤拉苏斯说：“如果我胜诉，根据判决你必须付钱；如果我败诉，你就赢了这场官司，根据契约你也必须付钱。”没想到名师出高徒，尤拉苏斯反戈一击道：“如果你败诉，根据判决我不必付钱；如果你胜诉，我就仍然没有赢过任何一场官司，根据契约我还是不必付钱。”由于这个诡论超出了法官的判断能力，因此法庭拒绝受理此案。

　　实际上法庭应该理直气壮地判决普罗塔戈拉败诉，因为尤拉苏斯根本还没有赢过任何一场官司。普罗塔戈拉本该料到法庭会这么判决，他的如意算盘应该是在首次败诉以后再第二次起诉，那时法庭就理应判决普罗塔戈拉胜诉，因为尤拉苏斯已经赢了前一场官司。

　　问题出在普罗塔戈拉迫不及待地在“这场官司”中说：“如果我败诉，你就赢了这场官司，根据契约你也必须付钱。”这样他一方面违反了最根本的逻辑同一律，陷入法律和契约的双重标准，根据不同需要把有利于自己的有限事实做无限推论，而对方“以子之矛攻子之盾”，使它变成双重的双重标准。诡辩双方的“合作”，使形式上不自足的推论进入恶性循环；另一方面他在“这场官司”中思维和指称“这场官司”，犯了自指性错误，炮制了一个有限无限混合型悖论。难怪法官怕陷入魔鬼的恶作剧而挂起免战牌。

　　《韩非子·难一》所载“物无不陷之矛”和“物莫能陷之盾”那个著名寓言，把“有限的矛坚盾利”这一事实作无限推论，符合这个型号悖论的部分特征，但由于不能循环，不算标准型的诡论，因此也缺乏悖论的形式迷惑性。但《吕览》中载有两个标准型的诡论，一是《淫辞》中寄名公孙龙的“秦赵相约诡论”，因较长，本文恕不引用(参见岳麓书社版拙著《寓言的密码》第27章)；一是《离谓》中邓析的“赎尸诡论”：

　　“郑之富户有溺者，人得其死者。富人请赎之，其人求金甚多；以告邓析。邓析曰：‘安之，人必莫之卖矣。’得死者患之，以告邓析。邓析又答之曰：‘安之，此必无所更买矣。’”

　　由于这个诡论中涉及的有限事实“尸体”很快就会烂掉，因此作出两个“安之”的无限推论就更突出了诡论的荒谬性。这个诡论与普罗塔戈拉诡论的区别在于，它只是一重的双重标准，但邓析一身兼任了诡辩双方，可算是自觉的诡论大师。

　　综上所述，三种型号的悖论虽然各有特点，但“自我指称”却是它们的共性，因此有嗜痂之癖的人把悖论谬赞为“站在自己头上的真理”，我却认为悖论是想抓着自己的头发把自己提离地面的愚行，是人类理性的癌变。根除悖论，必将为人类打开真理之路；正如根治癌症，必将为人类健康和人类幸福创造(有限的)无限前景一样。

　　3）不久前我又遇见我的朋友王先生，我对他说：我上次做的那个纸环，有四条边和四个面，因为纸有厚度。同样因为纸有厚度，是三维的，所以你做的那个“莫比乌斯怪圈”有两个曲面和两条边。但“两条边两个平面”的圆环却是二维的，即用剪刀在纸上剪两个半径不等的同心圆所得的圆环，并且必须想象纸没有厚度——二维世界本来就只存在于人类的想象之中，而事实的世界是三维的。因此，莫比乌斯怪圈是由二维和三维的双重标准构成的混合型诡论。

　　我又继续说道：你再想象一个实心的三维圆环，比如说呼拉圈。如果说呼拉圈的横截面是任意多边形，那么这个呼拉圈就有任意多条边和任意多个面;如果把这个具有任意多的边和面的呼拉圈截断，作莫比乌斯式180°乃至任意度的扭转后再接上，边和面或许会有所减少，但这个莫比乌斯呼拉圈也不是什么怪呼拉圈，在拓扑变形中，它可以毫无困难地拓变成街上到处有售的普通呼拉圈。如果这个横截面为圆的实心呼拉圈是用纸浆压制而成的，那么这个纸圈或纸环就一条边也没有而只有一个曲面；最后，如果这个实心的纸质呼拉圈的横截面是水滴形的，像一条太极鱼或者像一个顿号，那么这个纸环或纸圈就真的“只有一条边和一个面”了，但它既不是怪圈，也不是悖论，只是一个儿童玩具。

　　王先生听完后一言不发，或许他心里想的是维特根斯坦的名言：“对于不可言说的东西，我们只能沉默。”

本贴由1234322于2001年11月14日11:07:50在乐趣园〖网海莲舟佛法论坛(国内版)〗发表.

原标题:【不太熟。您能介绍个大意吗？然后再看看怎么看。】是玄兹在2001年11月14日10:44:39发表
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此文作者对数学了解不够,有好几处相当严重的错误. 二麻子 11:40:17 11/14/01 (无内容)