要能成立数学化,一个不可或缺的要素是:一个不变基数或量的建立,由此,才有相对独立于基数的数学关系。这个基数是 1 和 0 或者还有-1(由0-1可以得出-1,所以,好像-1不是基本的,但负数的开方有些特别)。为什么需要两个数? 因为需要比较,因为 比如 0的加法运算关系 不同于 1。为什么是1?其它数也可以,除以一个比例,还是1,只差一个比例罢了,没有其它的不同。
在数学关系中,有明确的数学关系或规则,也有不明确的或说“当然”的隐含的“观念”,这个需要注意。总之,数学就是思维认识基于“观念”抽象出来的基数或数学对象和数学关系的总和。
数学起于人的思维认识活动,它不可能独立于认识活动的特点而有此,至于它能不能超越于认识活动存在本身,有人觉得很当然,但是,未必那么简单,本文不想就此争论。
在认识存在中如何成立不变量呢?绝对独立于或说完全割裂于观察认识活动的观察对象是不存在的。当然,可能观察活动存在本身对观察对象或认识对象的作用或影响无穷小而近似或忽略,这是可能的,由此可成立近似不变的对象。由此,我们知道,1 不是一个绝对不变量,而是 1≈ 1+σ,或说,1其实就是1+σ的意思,因为σ无穷小,而可忽略。这里,我们可以用看起来象 0 的σ表示“无穷小”。
在认识活动中,由于1是个近似值,或某个极限值,所以,我们不关心1,而更关心这个 1+σ。这个 1+σ还有没有更深入的数学表达呢?
在数学中,大数学家欧拉首先发现了自然对数底e(叫自然数e吧),
有个著名的公式 e^(1/n)=1+1/n, 当n->∞.
这里e^n表示“e的n次方”的意思。
又是 欧拉,还有个著名的公式 cosX+i*sinX=e^(ix).
e^1/n=1+1/n, 当n->∞。 其可改写成 1+σ=e^σ。这个数学的基础1+σ,原来有如此的关系!
要理解这个公式,又牵涉到“乘方”。有人说 乘法 仅仅是 加法 的一个特例的一个简便记法而已。我们说未仅如此,我们更关心“观念”的变换。在几何中,面积是 乘积,线段长是 某个数,线段长和面积完全不是一个概念!一个是一维量,另一个是二维量,性质截然不同!是完全不同“观念”下的结果。而在数学中,可以不分 面积数,还是 长度数,都只是数,都排在一个数系序列里。这样,我们只能理解为:数系序列并未与真实确定对应,研究其数字蕴含的关系才可能揭示某种观念下的真实。
“乘方或开方”关系可以理解为来源于两个正交量的“合成或分解”,这是更深刻的。由此,出现了无理数,乃至 复数。所以,并不是我们看起来的一维的,而是多维的,隐含着关系的。实数还有实稠密性,而复数应该说没有实稠密性了,因为不存在实数和复数的一一对应,并不是所有的复数都能够正好“合成分解”成实数,所以干脆就保留a+i*b的形式吧。更一般的表示“合成或分解”的方法是“矢量”,一个带“趣向或倾向”的量,而e^(ix)正好写成某个矢量式。并不是所有的复数都能够正好“合成分解”成实数。复数在关于“振荡”的工程领域几乎是离不开的。
自然数也好,有理数也好,无理数也好,只是浮出水面冰山之一角。更庞大或更基本的是复数!是“矢量”,是“矢量”的“合成或分解”关系。完全实数对象化,永远只是一个梦想。
在认识中,必有认识观念的“取向”,才有对象化的认识活动,这和 “矢量”的“合成或分解”的说法多么的相象啊!而对象化的认识活动是无法绝对割裂出对象的,所以,近似,极限,是对象化的宿命。
为什么说复数是更庞大或更基本的呢?我们知道两个正交分量变成一个合成量,并不存在合成量与两个正交分量的唯一对应关系。我们可以利用初中几何知识即知道,设合成量为圆的直径,那么可以在圆周上作无数直角三角形。由于实数和虚数的关系正好就是正交关系,所以,在这里,实数就相当于一条直角边,由于圆周上可作无数的直角三角形,所以,不存在实数和复数是唯一对应关系。
如果实数表示对象化的或说“实在化的”世界,那么复数表示的就是事实,那么虚数表示的是什么?至少我们可以说它恰恰不是对象化的世界。这样,实数和虚数既有约束关系,又不是由实数决定的,或说非实在决定论的,或说有自由的,这预示着什么呢?爱因斯坦讨厌的量子幽灵啊!也许更平凡,这个幽灵不正是我们的心灵的特点吗?
e^σ可理解为在极限情况下,用一个极限2.71828...表示的矢量式, 而1+σ也是一个趋于极限表示式。
公式 e^σ=1+σ, 应是复数欧拉公式cosX+i*sinX=e^(ix)中,当x=-i/n,n->∞,的特例。
所以,公式 e^σ=1+σ只是个特例,而复数欧拉公式更一般,不需要限定在极限条件下就能成立。
矢量必是不离活动才能体现。 e^σ=1+σ他们的相等不是近似,而是绝对相等。
由复数欧拉公式,在矢角为0、垂直、反向等特殊情况下,会出现实数为1、0、-1等情况。
公式 e^σ=1+σ,更一般的表达是 x^σ=1+σ, X可以是任何正实数,只是相差一个极限趋于1的无穷小,所以,也可说成无差别。
有没有不是极限,而是绝对准确的实数常量?有的,d[(sinX+i*cosX)/e^(ix)]/dx是个常量,也就是说有变化中的不变量。所以,我们所谓的实数不变量或常量,要么是极限,要么是变化中的不变量。也就是说,绝对静止不变的实数常量对象不是真实存在的。
2009.12.10
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