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主题: 基于直觉主义和维特根斯坦对哥德尔不完全定理的评论 |
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发表于 2009-07-22 22:29:36
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作者:庄朝晖
关键字:哥德尔不完全性定理;对角线方法;直觉主义;维特根斯坦;停机问题

本文首先从形式主义的角度介绍了哥德尔不完全性定理,提出“哥德尔不完备性定理”的说法是容易混淆的,说明一阶算术有非标准模型,哥德尔的证明是基于标准模型的,可以推出一阶算术在标准模型上的不完备。接下来,引入了维特根斯坦对于哥德尔定理的评论。Floyd和Putnam从非标准模型的角度来解读维特根斯坦的评论,然而Bays对此提出了有力的批评,表明从非标准模型来解读维特根斯坦的评论是困难的。本文引入了直觉主义的思想,对维特根斯坦的评论进行了新的解读,指出哥德尔证明中所基于的一阶算术的解释是模糊的。对于维特根斯坦,可以接受的是一阶算术上的可证性,所以在他看来,自然数系统上的真,如果要有意义的话,只能定义为一阶算术上的可证性。然后,进一步基于直觉主义和维特根斯坦的观点,批评了康托尔的“对角线”方法,提出康托尔证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。在定义这个数的时候,已经决定了后面想把这个数放回可数集,就会产生矛盾。因此,矛盾不是来自于前提错误,而是来自于不正当的对康托尔数的定义。同样,在直觉主义者看来,哥德尔定理证明中得到的矛盾,是来源于哥德尔对哥德尔数的不正当定义。这个结论还可以推广到递归函数和图灵机等这些等价的计算模型之上。比如,在直觉主义者看来,停机问题是没有意义的。
This paper introduces Gödel incompleteness theorem in formalism perspective and shows that the proof of Gödel incompleteness theorem is based on some interpretation of first order arithmetic. Then, this paper criticizes the proof of Gödel incompleteness theorem from the perspective of Intuitionism and Wittgenstein. Intuitionists can accept expressibility of formal system and recursive functions, but will deny any concept of truth outside provability of first order arithmetic. Furthermore, Cantor’s diagonalization method, which Gödel based his proof on, is unacceptable for intuitionists, because the definition of Cantor’s real number, as well as the definition of Gödel number, has forecast the future contradiction in the proof. Results of their proof originate from unsuitable proof methods. As a conclusion, Gödel theorem is meaningless for Intuitionist. So is halting problem.
发表在《厦门大学(哲学社会版)》,站在构造主义的角度,哥德尔定理的结论很可能是错误的,但定理证明中用到的技术很有用。
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主题: 极其不支持此文。。。的建议。 |
第2楼 |
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发表于 2009-07-22 23:35:46
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如果不是真的对现代数学逻辑学有深刻的了解,还是不评论的好。
记得文革期间,有一堆人物发表用辩证法看导数的文章,实在是让人不知道说什么好。
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发帖人 |
主题: 彭加莱、布劳维尔都不同意康托尔的实数理论 |
第3楼 |
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发表于 2009-07-23 00:04:39
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然而康托尔实数理论是当今大学教程的基本。但多数人认为对的并不一定是对的。一百年前,有一场关于数学基础的纷争,后来形式主义的希尔伯特的影响力胜出,但其实是直觉主义的布劳维尔的胜利更多一些。
因为哥德尔定理与康托尔对角线方法相关性极强。本论文是沿着彭加莱和布劳维尔,把直觉主义的思想延伸到哥德尔定理的评论。
这篇论文只是试图澄清概念思维上的混乱。因为在构造主义者看来,对角线方法和哥德尔定理还有停机问题,都是脱离了经验,从而陷入了理论思维上的混乱。 |
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主题: 他们是他们,你是你。 |
第4楼 |
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发表于 2009-07-23 00:37:34
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他们是内行,你我不是。 |
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发帖人 |
主题: 不敢说是内行,起码是合格的研究者。 |
第5楼 |
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发表于 2009-07-23 11:14:51
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数学第三次数学危机,当时有三大流派:逻辑主义、直觉主义和形式主义。
后来,形式主义吸收了直觉主义的很多方面,也因为希尔伯特的影响力,最后赢得了正统地位。
但其实直觉主义才是真正的胜利者。三次数学危机之后,直觉主义的能行性构造性思想,催生了计算机科学。
如何从直觉主义能行性构造性的角度,重新对前人的正统评论进行再评论,这个任务在很大程度上传承给了计算机科学工作者。 |
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发帖人 |
主题: 庄兄化过多少时间学纯数学? |
第6楼 |
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发表于 2009-07-23 11:42:56
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数学专业研究生?
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发帖人 |
主题: 这里主要是逻辑问题 |
第7楼 |
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发表于 2009-07-23 11:44:54
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在数理逻辑方面,本科《数理逻辑》教过几次了,哥德尔定理也介绍过几次。越讲越觉得这个定理不对劲。
后来,看到维特根斯坦也说这个定理不对劲。一拍即合。
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发帖人 |
主题: 能够简单直接确凿地指出问题所在,或其适用的前提? |
第8楼 |
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hu-ou |
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2007-03-27 |
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发表于 2009-07-23 12:45:28
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哲学解释,不是纯数学公式。
歌德尔定律被一些人当作无前提的真理了。
什么 可证 不可证,不知道说什么。
一些人,甚至说它 说明了 突破自我,或自我否定, 由此探讨起生命生起的问题。
该贴于2009-07-23 12:57:52被hu-ou编辑过 |
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发帖人 |
主题: 跟理发师悖论有何不同?更多嵌套? |
第9楼 |
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hu-ou |
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2007-03-27 |
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发表于 2009-07-23 13:15:26
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发帖人 |
主题: 纯概念的理论不可能对经验说出什么 |
第10楼 |
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发表于 2009-07-23 14:47:56
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只有带有经验影响的理论,才可能对经验揭示出什么来。
纯概念的思维,有可能会因为陷入概念的自我纠缠,却以为证明了经验界的一个伟大命题。
对角线和哥德尔定理的论证都是采用反证法。但是在证明中出现的矛盾,并不一定是由于前提的错误,却很有可能是因为概念上的混淆导致的矛盾。
比如一个人出门去,路上没有看好脚下的路,掉进了坑里。爬出坑之后,他评论道:“早知道今天不出门。” |
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发帖人 |
主题: 悖论也可以归结到对角线方法,也是概念思维的混乱所导致 |
第11楼 |
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发表于 2009-07-23 14:50:01
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对于概念,进行了增益或者减损。 |
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发帖人 |
主题: 咏蜂诗 |
第12楼 |
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发表于 2009-07-23 14:51:14
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发帖人 |
主题: 那时基础不错了。 |
第13楼 |
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发表于 2009-07-23 20:29:27
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教书跟研究还是不太一样。研究是“创造知识”。
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发帖人 |
主题: 教研相长 |
第14楼 |
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发表于 2009-07-23 21:04:08
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发帖人 |
主题: 其实就是他们在说哥德尔定理的问题 |
第15楼 |
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发表于 2009-07-23 21:10:09
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他们当时说康托尔定理的问题,哥德尔定理的证明与康托尔定理的证明很类似。
我的主要工作是论证,哥德尔定理与康托尔定理的证明具有同样的缺陷。 |
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发帖人 |
主题: 别说高校了,国际上。。。 |
第16楼 |
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发表于 2009-07-23 22:05:39
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真的懂这定理的人都不很多。但这定理指出一个过去大家都没想到的问题:系统可以是不完备的,而且是逃不掉的不完备。
对角线问题,说成错误定义不一定妥当。就象非欧几何一样,定义不同,出来不同的东西。我觉得并不需要否认可以有完备系统,但是指出复杂到某个程度的算术系统不完备,本身很惊人!至少刚出来的时候很惊人。让人反思整个人类的认识体系,是不是有重大问题。
构造主义里面的构造本身可能隐含了某种定义,这点我同意你。
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发帖人 |
主题: 那是在形式主义的框架内分析构造性问题 |
第17楼 |
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发表于 2009-07-23 22:37:38
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我觉得,很有必要在构造主义的框架内分析构造性问题。 |
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发帖人 |
主题: 你的意见很多哈。 |
第18楼 |
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用户名: |
hu-ou |
注册日: |
2007-03-27 |
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发表于 2009-07-23 23:37:39
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不过,要听你三言两语讲清楚,好象一时没希望了。
经验 概念 这些名词,你很清楚?
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发帖人 |
主题: 那么你会遇到在形式主义框架里分析形式类似的问题。 |
第19楼 |
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发表于 2009-07-24 03:20:44
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不过,绝对值得。因为问题本身,就是进展。
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发帖人 |
主题: 康托的事。。。 |
第20楼 |
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发表于 2009-07-24 03:35:51
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那定理从第一次学到的时候,就觉得怪。
过些年,数学学得更深点,有点自己的判断能力以后,更会体会到这定理的路数不同。
但我没有机会更深入考究下去。有时候,表面的不合习惯,可能后面有错,但也可能是很有价值的地方。一个浅例子,俺跟胡欧扯的那段飞矢不动,用到的不过是稠密性。嘻嘻。再下面就是连续与可微了。但对刚接触的人来说,连续用到稠密,稠密的意思居然含有两点不可邻接在内,这明明是一般意义下的“稀疏”吗,很怪异吧。嘻嘻。
上升到认识论,就复杂了。而且,这样形而上的认识论其实也不很帮助人。 |
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