作者:庄朝晖
关键字:哥德尔不完全性定理;对角线方法;直觉主义;维特根斯坦;停机问题

本文首先从形式主义的角度介绍了哥德尔不完全性定理,提出“哥德尔不完备性定理”的说法是容易混淆的,说明一阶算术有非标准模型,哥德尔的证明是基于标准模型的,可以推出一阶算术在标准模型上的不完备。接下来,引入了维特根斯坦对于哥德尔定理的评论。Floyd和Putnam从非标准模型的角度来解读维特根斯坦的评论,然而Bays对此提出了有力的批评,表明从非标准模型来解读维特根斯坦的评论是困难的。本文引入了直觉主义的思想,对维特根斯坦的评论进行了新的解读,指出哥德尔证明中所基于的一阶算术的解释是模糊的。对于维特根斯坦,可以接受的是一阶算术上的可证性,所以在他看来,自然数系统上的真,如果要有意义的话,只能定义为一阶算术上的可证性。然后,进一步基于直觉主义和维特根斯坦的观点,批评了康托尔的“对角线”方法,提出康托尔证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。在定义这个数的时候,已经决定了后面想把这个数放回可数集,就会产生矛盾。因此,矛盾不是来自于前提错误,而是来自于不正当的对康托尔数的定义。同样,在直觉主义者看来,哥德尔定理证明中得到的矛盾,是来源于哥德尔对哥德尔数的不正当定义。这个结论还可以推广到递归函数和图灵机等这些等价的计算模型之上。比如,在直觉主义者看来,停机问题是没有意义的。
This paper introduces Gödel incompleteness theorem in formalism perspective and shows that the proof of Gödel incompleteness theorem is based on some interpretation of first order arithmetic. Then, this paper criticizes the proof of Gödel incompleteness theorem from the perspective of Intuitionism and Wittgenstein. Intuitionists can accept expressibility of formal system and recursive functions, but will deny any concept of truth outside provability of first order arithmetic. Furthermore, Cantor’s diagonalization method, which Gödel based his proof on, is unacceptable for intuitionists, because the definition of Cantor’s real number, as well as the definition of Gödel number, has forecast the future contradiction in the proof. Results of their proof originate from unsuitable proof methods. As a conclusion, Gödel theorem is meaningless for Intuitionist. So is halting problem.
发表在《厦门大学(哲学社会版)》,站在构造主义的角度,哥德尔定理的结论很可能是错误的,但定理证明中用到的技术很有用。